माना A = begin{bmatrix} p & 13 -13 & p end{b | vedclass

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Question

(A) दिए गए आव्यूह $A = \begin{bmatrix} p & 13 \ -13 & p \end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix} 4q & 85 \ -2 & 1 \end{bmatrix}$ हैं।सारणिकों की गणना

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$31$

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(A) दिए गए आव्यूह $A = \begin{bmatrix} p & 13 \ -13 & p \end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix} 4q & 85 \ -2 & 1 \end{bmatrix}$ हैं।सारणिकों की गणना करने पर,$|A| = p^2 - (13)(-13) = p^2 + 169$ प्राप्त होता है।$|B| = (4q)(1) - (85)(-2) = 4q + 170$ प्राप्त होता है।$|A| = |B|$ दिया गया है,इसलिए $p^2 + 169 = 4q + 170$,जो सरल होकर $p^2 = 4q + 1$ हो जाता है।चूंकि $p^2 = 4q + 1$,इसलिए $p^2$ विषम होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $p$ एक विषम पूर्णांक है। मान लीजिए $p = 2k + 1$ किसी पूर्णांक $k \geq 0$ के लिए।$p = 2k + 1$ को समीकरण में रखने पर: $(2k + 1)^2 = 4q + 1 \Rightarrow 4k^2 + 4k + 1 = 4q + 1 \Rightarrow 4k(k + 1) = 4q \Rightarrow q = k(k + 1)$ प्राप्त होता है।हमें $1 \leq q \leq 1000$ और $1 \leq p \leq 1000$ दिया गया है।$q = k(k + 1) \leq 1000$ के लिए,हम पाते हैं कि $k^2 \approx 1000$,इसलिए $k \leq 31$ है।चूंकि $p = 2k + 1$,यदि $k = 31$ है,तो $p = 2(31) + 1 = 63$,जो $\leq 1000$ है।इस प्रकार,$k$ का मान $1$ से $31$ तक हो सकता है (क्योंकि $q \geq 1$,इसलिए $k \geq 1$)।$k$ के लिए $31$ संभावित मान हैं,और प्रत्येक $k$ एक अद्वितीय युग्म $(p, q)$ देता है।अतः,क्रमित युग्मों $(p, q)$ की कुल संख्या $31$ है।

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